Autour du théorème de Cauchy-Lipschitz, équations différentielles

La théorie des équations différentielles est un thème majeur de l’analyse, tant en mathématiques pures qu’appliquées. Cet ouvrage traite du théorème de Cauchy-Lipschitz, qui est le résultat de base assurant sous certaines conditions simples, l’existence et l’unicité d’une solution d’une large classe d’équations. Il s’adresse aux étudiants de Licence (L2, L3) et Masters de Mathématiques, des classes préparatoires aux Grandes Écoles, ainsi qu’à ceux qui préparent le C.A.P.E.S. et l’agrégation de Mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur pourra ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline.Les exercices proposés sont typiques des questions posées aux examens et aux concours. Une fois ces notions assimilées, le lecteur pourra sans difficultés s’engager dans des études plus avancées. Daniel Sondaz est Maitre de Conférence à l’Université Claude Bernard Lyon 1Jean-Marie Morvan est Professeur de Mathématiques à l’Université Claude Bernard Lyon 11 Rappels de cours 1.1 Notion d’équation différentielle 1.2 Équations différentielles du premier ordre 1.3 Un théorème d’existence de solutions1.4 Un théorème d’unicité locale 1.5 Un théorème d’existence et unicité1.6 Le phénomène d’explosion en temps fini1.7 Dépendance par rapport aux conditions initiales 1.7.1 Tube centré sur un graphe 1.7.2 Étude de la continuité 1.7.3 Étude de la différentiabilité 1.8 Dépendance par rapport à un paramètre 1.9 Représentation géométrique des solutions 1.10 Intégrales premières1.11 Équations différentielles autonomes 1.11.1 Champs de vecteurs 1.11.2 Flots1.11.3 Intégrale première d’un champ de vecteurs 1.12 Le lemme de Gronwall 2 Exercices 3 ProblèmesIndex