Groupes, anneaux et corps

Cet ouvrage est une introduction à la théorie des groupes, des anneaux et des corps. Il s’adresse aux étudiants de L3 de Mathématiques, de Masters de Mathématiques Pures et Appliquées, aux étudiants des Écoles d’Ingénieurs, ainsi qu’aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l’Agrégation de Mathématiques.Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline.Sont abordés dans ce fascicule, les théorèmes classiques de Lagrange, de Fermat, de Sylow en théorie des groupes, les notions d’idéal, d’anneau factoriel, principal, euclidien en théorie des anneaux, et celles de corps et d’extension de corps. Les exercices proposés permettent au lecteur de maîtriser un large spectre d’exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficultés s’engager dans des études plus avancées.Table des matières Avant-propos1 Lois de composition interne 1.1 Rappels de cours 1.1.1 Loi de composition interne 1.1.2 Partie stable 1.1.3 Associativité 1.1.4 Commutativité 1.1.5 Élément régulier 1.1.6 Elément neutre. Monoïde 1.1.7 Elément symétrisable1.1.8 Distributivité 1.2 Exercices2 Groupes2.1 Rappels de cours2.1.1 Définitions et propriétés générales2.1.2 Sous-groupe 2.1.3 Groupe produit 2.1.4 Groupe monogène, groupe cyclique, ordre d’un élément 2.1.5 Sous-groupe distingué, groupe quotient 2.1.6 Conjugaison, normalisateur et centralisateur 2.1.7 Groupes finis, indice d’un sous-groupe, les théorèmes de LAGRANGE et de FERMAT 2.1.8 Groupes de permutations 2.1.9 Groupe simple 2.1.10 Groupe opérant sur un ensemble 2.1.11 Équation aux classes, formule de BURNSIDE2.1.12 Les théorèmes de SYLOW . .2.2 Exercices3 Anneaux et corps 3.1 Rappels de cours3.1.1 Définitions et propriétés générales 3.1.2 Sous-anneau 3.1.3 Anneau produit3.1.4 Idéal3.1.5 Idéal principal, idéal de type fini3.1.6 Anneau quotient 3.1.7 Idéal premier, idéal maximal 3.1.8 Caractéristique d’un anneau 3.1.9 Divisibilité dans les anneaux intègres 3.1.10 Anneau factoriel 3.1.11 Anneau principal 3.1.12 Anneau euclidien 3.1.13 Corps3.1.14 Sous-corps, extension 3.1.15 Sous-corps premier 3.1.16 Corps algébriquement clos 3.2 Exercices